Contoh penerapan Trigonometri Dalam kehidupan sehari-hari beserta soal dan pembahasan .
Oleh : Rona Raudhati Putri ( XI MIA 1 )

1. Penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari

A. Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri. Dibawah ini Anda dapat menemukan rumus trigonometri beserta contoh soal dan jawabannya.

B. Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri.

C. Konsep Trigonometri

Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun. Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

D. Kegunaan Triginometri Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Dalam kehidupan sehari – hari kita sering melihat seorang sedang mengukur jalan yang akan diperbaiki ataupun gedung bertingkat yang sedang dibangun. Para arsitek tersebut bekerja dengan menggunakan perbandingan trigonometri.

Trigonometri menemukan penggunaannya yang sempurna pada Arsitektur modern. Kurva-kurva nan indah pada permukaan baja, bebatuan, kayu, dan lain-lain dapat diwujudkan karena potensi yang besar dari ilmu ini.

Teknologi pencitraan dari komputer dapat digunakan dalam dunia kedokteran secara luar biasa untuk menemukan sumber beberapa penyakit ganas.

Berikut beberapa contoh penggunaan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari :

1.   Dalam Bidang Navigasi

Tabel trigonometri diciptakan lebih dari dua ribu tahun yang lalu untuk perhitungan dalam astronomi. Bintang-bintang dianggap tetap pada bola kristal dengan ukuran besar, dan model yang sempurna untuk tujuan praktis. Hanya planet berpindah bola. (Pada saat itu ada tujuh planet yang diakui: Merkurius, Venus, Mars, Jupiter, Saturnus, bulan, dan matahari Mereka adalah planet-planet yang kita beri nama hari-hari kami dalam seminggu sesudah Bumi tersebut belum dianggap sebagai.. sebuah planet karena itu adalah pusat alam semesta, dan planet-planet luar tidak ditemukan kemudian) jenis trigonometri yang diperlukan untuk memahami posisi pada bola disebut trigonometri bola.. Trigonometri bola jarang diajarkan sekarang karena tugasnya telah diambil alih oleh aljabar linear. Meskipun demikian, satu aplikasi dari trigonometri adalah astronomi. Seperti bumi juga bola, trigonometri digunakan dalam geografi dan navigasi. Ptolemy (100-178) yang digunakan trigonometri pada geografi dan menggunakan tabel trigonometri dalam karya-karyanya. Columbus membawa salinan dari Regiomontanus ‘Ephemerides Astronomicae pada perjalanan ke Dunia Baru dan menggunakannya untuk keuntungannya. 

 2. Menentukan tinggi menara, gedung, pohon, bukit, dll

      3. Digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut

 

 4.  Aplikasi Trigononomerti Pada Ilmu Astronomi

     Trigonometri sangat besar manfaatnya dalam ilmu astronomi, karena ukuran benda-benda langit tidak mungkin diukur pakaipenggari, pasti dihutug dengan bermain skala-skala dan sudut-sudut, sehingga dapat diestimasi ukurannya secara akurat. Rumus trigonometri sudut ganda digunakan untuk nilai-nilai ukuran sisi akibat sudut-sudut yang tidak istimewa. Meskipun pemnggunaan kalkulator diijinkan dalam penelitian, namun kalkulator umumnya tidak mampu menganani kasus numeris yang membutuhkan ketelitian tinggi. Karena dalam beberapa kasus numeris, perlakuan tanpa pembulatan adalah metode terbaik.

      Trigonometri digunakan dalam menemukan jarak antara benda-benda angkasa

 

5.  Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.

 

6.  Menentukan arah kiblat menggunakan ilmu ukur segitiga bola

Ilmu ukur segitiga bola atau disebut juga dengan istilah trigonometri bola (spherical trigonometri) adalah ilmu ukur sudut bidang datar yang diaplikasikan pada permukaan berbentuk bola yaitu bumi yang kita tempati. Ilmu ini pertama kali dikembangkan para ilmuwan muslim dari Jazirah Arab seperti Al Battani dan Al Khawarizmi dan terus berkembang hingga kini menjadi sebuah ilmu yang mendapat julukan Geodesi (ilmu yang mempelajari tentang bumi). Segitiga bola menjadi ilmu andalan tidak hanya untuk menghitung arah kiblat bahkan termasuk jarak lurus dua buah tempat di permukaan bumi.

Sebagaimana sudah disepakati secara umum bahwa yang disebut arah adalah “jarak terpendek” berupa garis lurus ke suatu tempat sehingga Kiblat juga menunjukkan arah terpendek ke Ka’bah. Karena bentuk bumi yang bulat, garis ini membentuk busur besar sepanjang permukaan bumi. Lokasi Ka’bah berdasarkan pengukuran menggunakan Global Positioning System (GPS) maupun menggunakan software Google Earth secara astronomis berada di 21° 25' 21.04" Lintang Utara dan  39° 49' 34.04" Bujur Timur. Angka tersebut dibuat dengan ketelitian cukup tinggi. Namun untuk keperluan praktis perhitungan tidak perlu sedetil angka tersebut. Biasanya yang digunakan adalah :

 φ = 21° 25’ LU  dan  λ = 39° 50’ BT  (1° = 60’ = 3600”)

 ° = derajat   ‘  =  menit busur   dan “ = detik busur

Arah Ka’bah yang berada di kota Makkah yang dijadikan Kiblat dapat diketahui dari setiap titik di permukaan bumi, maka untuk menentukan arah kiblat dapat dilakukan dengan menggunakan Ilmu Ukur Segitiga Bola (Spherical Trigonometri). Penghitungan dan pengukuran dilakukan dengan derajat sudut dari titik kutub Utara, dengan menggunakan alat bantu mesin hitung atau kalkulator.

      Untuk  perhitungan arah kiblat, ada 3 buah titik yang harus dibuat, yaitu :

      1. Titik A, diletakkan di Ka’bah (Mekah)

      2. Titik B, diletakkan di lokasi yang akan ditentukan arah kiblatnya.

      3. Titik C, diletakkan di titik kutub utara.

 

Titik A dan titik C adalah dua titik yang tetap, karena titik A tepat di Ka’bah dan titik C tepat di kutub Utara sedangkan titik B senantiasa berubah tergantung lokasi mana yang akan dihitung arah Kiblatnya. Bila ketiga titik tersebut dihubungkan dengan garis lengkung permukaan bumi, maka terjadilah segitiga bola ABC, seperti pada gambar.

Ketiga sisi segitiga ABC di samping ini diberi nama dengan huruf kecil dengan nama sudut didepannya masing-masing sisi a, sisi b dan sisi c.

Dari gambar di atas, dapatlah diketahui bahwa yang dimaksud dengan perhitungan Arah Kiblat adalah suatu perhitungan untuk mengetahui berapa besar nilai sudut K di titik B, yakni sudut yang diapit oleh sisi a dan sisi c.

Pembuatan gambar segitiga bola seperti di atas sangat berguna untuk membantu menentukan nilai sudut arah kiblat bagi suatu tempat dipermukaan bumi ini dihitung/diukur dari suatu titik arah mata angin ke arah mata angin lainnya, misalnya diukur dari titik Utara ke Barat (U-B), atau diukur searah jarum jam dari titik Utara (UTSB).

Untuk perhitungan arah kiblat, hanya diperlukan dua data :

1). Koordinat Ka’bah  φ  = 21^o 25’ LU    dan     λ  = 39^o 50’ BT.

2). Koordinat lokasi yang akan dihitung arah kiblatnya.

    E. Hubungan Fungsi Trigonometri

Fungsi dasar :  

a. Identitas Trigonometri

b. Rumus jumlah dan selisih sudut

c. Rumus sudut rangkap dua

d. Rumus sudut rangkap tiga

e. Rumus perkalian sinus dan cosinus

f. Rumus perkalian trigonometri

g. Rumus jumlah dan selisih trigonometri

h. Rumus sudut rangkap

i. Kuadran trigonometri

• Kuadran 1 memiliki rentang sudut dari 0° – 90° dengan nilai sinus, cosinus dan tangent positif.
• Kuadran 2 memiliki rentang sudut dari 90° – 180° dengan nilai cosinus dan tangen negatif, sinus positif.
• Kuadran 3 memiliki rentang sudut dari 180° – 270° dengan nilai sinus dan cosinus negatif, tangen positif.
• Kuadran 4 memiliki rentang sudut dari 270° – 360° dengan nilai sinus dan tangent negatif, cosinus positif.

h. Sudut istimewa trigonometri

Sudut istimewa sendiri merupakan sudut-sudut yang mempunyai nilai derajat tertentu seperti 0°, 30°, 45°, 60°, 90° dan lain-lain; dapat di tentukan oleh tabel yang ada di bawah ini.

• Kuadran I

0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	1/2√2	1/2√3	1
cos	1	1/2√3	1/2√2	1/2	0
tan	0	1/3√3	1	√3	∞

• Kuadran II

90°	120°	135°	150°	180°
sin	0	1/2√3	1/2√2	1/2	0
cos	1	–1/2	–1/2√2	–1/2√	-1
tan	∞	–√3	-1	–1/3√3	0

• Kuadran III

180°	210°	225°	240°	270°
sin	0	–1/2	–1/2√2	–1/2√3	1
cos	1	–1/2 √3	–1/2 √2	–1/2	0
tan	0	1/3 √3	1	√3	∞

• Kuadran IV

270°	300°	315°	330°	360°
sin	-1	–1/2 √3	–1/2 √2	–1/2	0
cos	0	1/2	1/2 √2	1/2 √3	1
tan	∞	-√3	-1	–1/3 √3	0

2. Contoh soal penerapan trigonometri dalam kehidupan sehari-hari

1. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°

Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)

b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus

cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)

c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan

tan 105° = tan (60° + 45°)

2. Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5 dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:

A. sin (A + B)
B. sin (A − B)

Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga,  seperti gambar berikut:


Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas. Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya. Setelah  dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat  nilai sin atau cos yang benar.

sin A = 4/5
cos A = 3/5

sin B =12/13
cos B = 5/13

Periksa ulang,

• Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
• Sudut B  lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.

a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan



b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan



3. Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5 dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A + B)

Pembahasan

sin A = 3/5,  cos A = 4/5

sin B = 12/13,  cos B = 5/13

Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.

Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut

4. Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3, tentukan nilai dari cos R

Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut  P dan Q

sin P = 3/5,   cos P = 4/5

sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10

P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)

cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x



5. Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5

Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:



Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2

tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan cosnya:



Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10

Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....

Dengan rumus selisih dua sudut:



Jadi sin (α − β) = 1/5 √5

6. Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....

A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4

Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8

Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

7.  Buktikan identitas berikut

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= 4 cos 3A . cos² A

Pembahasan:

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= (4 cos 3A . cos A) .  cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= 2 (2 cos 3A.cos A) . cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

=  2{cos(3A+A)+cos(3A- A)} . cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= 2 (cos 4A+cos 2A) . cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= {cos(4A+A) + cos(4A-A)} +

   {cos (2A+A) + cos(2A-A)}

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= cos 5A + cos 3A + cos 3A + cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos 5A

= cos 5A + 2 cos 3A + cos A

     • cos A + 2 cos 3A + cos A

 8. Berapa nilai sin 120^o?

Jawaban:
120 = 90 + 30, jadi sin 120^o dapat dihitung dengan
Sin 120^o = Sin (90^o + 30^o) = Cos 30^o (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120^o, di kuadran 2, maka hasilnya positif)
Cos 30^o = ½ √3

Atau dengan cara lain:

Sama seperti 180^o-80^o.
Sin 120^o = Sin (180^o – 60^o) = sin 60^o = ½ √3

9. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawaban:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

10. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai
dari sin p cos q =

Jawaban:
p – q = 30°
sin (p – q)= sin 30°
sin p cos q – cos p sin q = ½
sin p cos q – 1/6 = ½
sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6
jadi nilai sin p cos q = 4/6

11. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB=6 cm ,BC=8 cm AC=7 cm. Nilai cos A adalah…

Jawaban:
Cos A=(AB²+AC²-BC²)/2(AB . AC)
Cos A=6²+7²-8²/2(6 . 7)
Cos A = 36+49-64/2(42)
Cos A=21/84

12.  Nilai dari cos 1200˚ adalah…

Jawaban:

cos 1200˚= cos( 120˚ +3.360˚ )

=cos 120˚

= – cos60˚

= -1/2

13. Pada ∆ ABC diketahui a+b=10 , sudut A=30˚ dan sudut 45˚ , maka panjang sisi b adalah…

Jawaban:
a+b=10
a=10-b
Aturan Sinus
a/sin A = b/sin B
10-b/ sin 30 = b/sin 45
10-b/1/2= b/√2/2
√2/2(10-b)=b/2
(10√2-b√2)/2=b/2
5√2-b√2/2=b/2
5√2=b√2/2 + b/2
5√2=(b√2+b)/2
5√2=b(√2+1)/2
b=5√2 x 2/(√2+1)
b=10√2/(√2+1) x (√2-1)/(√2-1)
b=20-10√2
b=10(2-√2)

2. Contoh soal cerita penerapan trigonomerti

1. Sulthon dengan tinggi 180 cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 45°. Kemudian ia berjalan sejauh 12 meter mendekati gedung. Di posisi yang baru, Sulthon mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi 60°. Tentukan tinggi gedung tersebut! (√3 = 1,7)

Penyelesaian :

Misalkan tinggi gedung = h

• Jarak antara gedung dengan posisi Sulthon mula-mula = 12 + x

• Jarak antara gedung dengan posisi Sulthon yang baru = x

Pada ΔABO, hubungan antara BO dan AO adalah

BO/AO = tan 45°

h / (x + 12) = 1

h = x + 12

x = h - 12 .... [Persamaan-1]

Pada ΔBCO, hubungan antara BO dan CO adalah

BO/CO = tan 60°

h / x = √3

h = x√3 .... [Persamaan-2]

Substitusikan Persamaan-1 ke Persamaan-2

h = (h - 12)√3

h = h√3 - 12√3

h√3 - h = 12√3

h(√3 - 1) = 12√3

h = 12√3/ √3-1

Rasionalkan

h = 12√3/ √3-1  ×  √3+1/√3+1

h = 12 (√3 + √3) / 2

Diperoleh jarak BO yakni h = 6(3 + √3) meter.

Tinggi gedung = tinggi Sulthon + BO

Tinggi gedung = 1,8 + 18 + 6√3

Jadi tinggi gedung adalah 19,8 + 6√3 meter

Dituntaskan, tinggi gedung 19,8 + 6(1,7) = 30 meter

Simak lebih lanjut https://brainly.co.id/tugas/204968#readmore


2. seorang anak yang mempunyai tinggi 1,5 m menerbangkan layang layang yang benangnya sepanjang 15 m . sudut yang dibentuk antara benang layang layang yang terbang dengan garis horisontal adalah 30 derajat"

dari ilustrasi diatas dapat ditentukan berapa ketinggian layang - layang tersebut diatas permukaan tanah

Simak lebih lanjut di Brainly.co.id - https://brainly.co.id/tugas/9857769#readmore